向量空间之子空间：定义、性质与运算

定义

向量空间的子空间是指满足以下条件的集合：

• 是向量空间的一部分
• 对于所有向量 $u$ 和 $v$，如果 $u\in S$ 且 $v\in S$，则 $u+v\in S$
• 对于所有向量 $u$，如果 $u\in S$ 且 $\alpha$ 是实数，则 $\alpha u\in S$

性质

向量空间的子空间具有以下性质：

• 闭合：子空间是对称的，并且它包含自身
• 线性：对于所有向量 $u$ 和 $v$，如果 $u\in S$ 且 $v\in S$，则 $u+v\in S$
• 可空集：如果子空间不是全集，则其可空集是非空的

运算（交、和、直和）

向量空间中的交运算

对于两个向量空间 $S_1$ 和 $S_2$，他们的交运算定义为：

$$S_1\cap S_2=\{x\in V|x\in S_1,x\in S_2\}$$

向量空间中的和运算

对于两个向量空间 $S_1$ 和 $S_2$，他们的和运算定义为：

$$S_1+S_2=\{x\in V|x=u+v,u\in S_1,v\in S_2\}$$

向量空间中的直交运算

对于两个向量空间 $S_1$ 和 $S_2$，他们的直交运算定义为：

$$S_1\perp S_2=\{x\in V|x=u+v,u\in S_1,v\in S_2{\}}^T=0$$

其中 $V$ 是原始向量空间，$T$ 表示转置运算。