群论
群论是抽象代数的核心内容之一，主要研究群这种代数结构及其性质。群论在数学的许多领域以及物理学、化学等自然科学中都有广泛的应用。以下是群论的主要内容介绍：
1. 群的定义与基本性质
定义
群是一个非空集合 ( G )，配备一个二元运算 ( \cdot )，满足以下四个条件：
- 封闭性：对于任意 ( a, b \in G )，运算结果 ( a \cdot b ) 仍然在 ( G ) 中。
- 结合律：对于任意 ( a, b, c \in G )，有 ( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) )。
- 单位元：存在一个元素 ( e \in G )，使得对于任意 ( a \in G )，有 ( e \cdot a = a \cdot e = a )。
- 逆元：对于任意 ( a \in G )，存在一个元素 ( a^{-1} \in G )，使得 ( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e )。
基本性质
- 唯一性：单位元 ( e ) 和逆元 ( a^{-1} ) 都是唯一的。
- 消去律：如果 ( a \cdot b = a \cdot c ) 或 ( b \cdot a = c \cdot a )，则 ( b = c )。
- 交换律：如果群中的运算还满足 ( a \cdot b = b \cdot a ) 对所有 ( a, b \in G ) 都成立，则称该群为阿贝尔群（Abelian Group）或交换群。
2. 子群与正规子群
子群
如果 ( H ) 是群 ( G ) 的一个非空子集，并且 ( H ) 本身在 ( G ) 的运算下也构成一个群，则称 ( H ) 是 ( G ) 的一个子群。子群必须满足以下条件：
- 封闭性：对于任意 ( a, b \in H )，有 ( a \cdot b \in H )。
- 单位元： ( H ) 包含 ( G ) 的单位元 ( e )。
- 逆元：对于任意 ( a \in H )，其逆元 ( a^{-1} ) 也在 ( H ) 中。
正规子群
如果 ( N ) 是群 ( G ) 的一个子群，并且对于任意 ( g \in G ) 和 ( n \in N )，有 ( g \cdot n \cdot g^{-1} \in N )，则称 ( N ) 是 ( G ) 的一个正规子群。正规子群的重要性在于它可以用来定义商群。
3. 群的同态与同构
同态
如果存在一个映射 ( \phi: G \to H )，使得对于任意 ( a, b \in G )，有 ( \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) )，则称 ( \phi ) 是从群 ( G ) 到群 ( H ) 的一个同态。同态保持了群的运算结构。
同构
如果一个同态 ( \phi: G \to H ) 是双射（即一一对应且满射），则称 ( \phi ) 是一个同构。如果存在从 ( G ) 到 ( H ) 的同构，则称 ( G ) 和 ( H ) 是同构的，记作 ( G \cong H )。同构的群在代数结构上是完全相同的。
4. 有限群与无限群
有限群
如果群 ( G ) 的元素个数是有限的，则称 ( G ) 为有限群。有限群的元素个数称为群的阶，记作 ( |G| )。有限群的结构和性质是群论中的一个重要研究方向，例如：
- 拉格朗日定理：有限群 ( G ) 的任何子群 ( H ) 的阶必能整除 ( G ) 的阶。
- 西罗定理：关于有限群的 ( p )-子群的存在性和数量的定理。
无限群
如果群 ( G ) 的元素个数是无限的，则称 ( G ) 为无限群。无限群的研究通常更加复杂，但也有许多重要的结果，例如：
- 自由群：由一组生成元自由生成的群，没有额外的约束关系。
- 拓扑群：同时具有代数结构和拓扑结构的群，例如李群。
5. 群表示论
群表示论是研究群在向量空间上的作用的理论。它通过将群的元素映射到线性变换，将抽象的群结构与具体的线性代数结构联系起来。
定义
如果存在一个从群 ( G ) 到向量空间 ( V ) 的线性变换群 ( GL(V) ) 的同态 ( \rho: G \to GL(V) )，则称 ( \rho ) 是 ( G ) 的一个表示。向量空间 ( V ) 称为表示空间。
重要概念
- 不可约表示：如果表示空间 ( V ) 不能分解为两个非平凡的不变子空间的直和，则称该表示是不可约的。
- 特征标：表示的特征标是一个函数 ( \chi: G \to \mathbb{C} )，定义为 ( \chi(g) = \text{tr}(\rho(g)) )，即表示矩阵的迹。
- 应用：群表示论在量子力学、粒子物理、化学分子对称性分析等领域有广泛应用。
总结
群论是抽象代数的核心内容之一，它通过研究群这种代数结构及其性质，为数学的许多领域提供了统一的理论框架。群论不仅在数学的其他分支中具有重要地位，还在物理学、化学等自然科学中发挥着重要作用。