多项式理论之多项式的定义与基本运算

一个多项式是通过将变量分配到不同幂的系数之间形成的表达式。它可以表示形式为：

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

其中 $a_{i}$ 是常数项， $x$ 是变量， $n$ 是多项式的次数。

两个多项式可以通过将同类项合并得到的新的多项式。公式如下：

\begin{aligned} f (x) + g (x) \\ = & (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}) \\ + & (b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}) \\ = & (a_{n} + b_{n}) x^{n} + (a_{n - 1} + b_{n - 1}) x^{n - 1} + \dots + (a_{1} + b_{1}) x + a_{0} + b_{0} \end{aligned}

两个多项式可以通过从第一多项式中减去第二多项式得到的新的多项式。公式如下：

\begin{aligned} f (x) - g (x) \\ = & (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}) \\ - & (b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}) \\ = & (a_{n} - b_{n}) x^{n} + (a_{n - 1} - b_{n - 1}) x^{n - 1} + \dots + (a_{1} - b_{1}) x + a_{0} - b_{0} \end{aligned}

两个多项式可以通过将第一个多项式乘以第二个多项式，然后合并同类项得到的新的多项式。公式如下：

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) \\ = & (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}) (b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}) \\ = & \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} x^{n + k} \\ = \sum_{i = 0}^{n + m} c_{i} x^{i} \end{aligned}

其中 $c_{i}$ 是新多项式的系数。

两个多项式可以通过使用长除法或其他方法得到的新的多项式。公式如下：

f (x) = g (x) \cdot q (x) + r (x)

其中 $q (x)$ 是商， $r (x)$ 是余数。

注意：在上述例子中，我们假设了两个多项式都是有理多项式，而不是整数。

多项式理论之多项式的定义与基本运算 ​