线性变换之线性变换的矩阵表示：标准基与矩阵的对应关系

什么是线性变换？

线性变换是一种在多维空间中的几何变化，描述了原点到目标点之间的映射。它可以通过将原点表示为一个向量并将该向量乘以一个矩阵来实现。

矩阵表示

线性变换可以用矩阵来表示。给定两个多维空间的向量 $x$ 和 $y$，如果我们定义一个函数 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，并且 $T(x)=Ax+b$，其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m\times 1$ 的向量，那么我们就可以表示线性变换为

$$T(x)=Ax+b$$

standard basis与矩阵的对应关系

在多维空间中，标准基（或标准坐标）是指所有可能的 $n$ 维向量。对于一个$n\times n$的矩阵A，我们可以将其表示为下式：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& amp;\cdots & amp;a_{1n}\\ a_{21}& amp;a_{22}& amp;\cdots & amp;a_{2n}\\ ⋮& amp;⋮& amp;\ddots & amp;⋮\\ a_{m1}& amp;a_{m2}& amp;\cdots & amp;a_{mn}\end{array}\right]=\sum _{j=1}^n\left[\begin{array}{c}{e}_j\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]a_{ij}$$

其中，我们使用标准基的表示形式

$${\mathbf{E}}_i=\left[\begin{array}{cccccc}0& amp;0& amp;\cdots & amp;0& amp;\cdots & amp;1\\ 0& amp;0& amp;\cdots & amp;0& amp;\cdots & amp;0\\ ⋮& amp;⋮& amp;\ddots & amp;⋮& amp;⋮& amp;⋮\\ 0& amp;0& amp;\cdots & amp;0& amp;\cdots & amp;0\end{array}\right]$$

总结

通过使用矩阵表示线性变换，我们可以轻松地将原点表示为目标点之间的映射。标准基与矩阵的对应关系表明了一个矩阵如何表示在多维空间中的一致性。