特征值与特征向量之特征多项式

定义

特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们可以用来描述一个矩阵的性质。

给定一个$n\times n$矩阵A，且其有可能具有复数系数，我们定义$ax=0$，其中$a$为非零实数和$x\in {\mathbb{C}}^n$。然后，特征值是解这个方程的$a$，而特征向量是对应于该特征值的解$x$。

性质

1. 线性 independence：如果${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$是A的$k$个不同特征值，则存在一个$n\times k$矩阵P，且其每一列都是A-λ_iI_n的特征向量的整数倍。这里I_n表示n\times n的单位矩阵。

2. 对称性：如果一个矩阵的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$，则存在一个$n\times k$矩阵P和一个$k\times k$矩阵T，其中T是正交矩阵，即$P{T}^{T}P=P$。

3. 多项式性质：如果A的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$，则存在一个$k\times k$矩阵P，其每一列都是一个特征向量，它们满足$AP={\lambda }_{1}P,A{P}^2={\lambda }_{2}P,...,A{P}^{k-1}={\lambda }_{k-1}P$。

4. 特征多项式：如果A的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_k$，则其特征多项式是一个$k\times k$矩阵P，其中每一列都是对应于特征值的特征向量。它可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{p}_A(x)& =det(xI-A)\\ & =det((x-{\lambda }_{1}I)xI-{\lambda }_{2}I)...-x^{k-1}I)=(x-{\lambda }_1{)}^m...(x-{\lambda }_k{)}^n.\end{array}$$

其中，$m,n$分别是特征值${\lambda }_i$的次数。

计算

为了计算特征多项式，我们可以使用特征分解法。首先，我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量，然后构建一个$k\times k$矩阵P，其每一列都是对应于特征值的特征向量。最后，我们可以将这些特征向量组合成一个特征多项式。

在计算中，需要注意的是，当A是实数矩阵时，特征分解法直接获得特征值和特征向量；当A具有复数系数时，可能需要使用其他算法，如 Jordan 分解或特征分解。