高斯消元法

高斯消元法是一种以丹尼尔·高斯命名的方法，用来解决线性方程组的解问题。它基于以下原理：

• 选取一个变量，将其从其他变量中分离出来。
• 用这个新变量表示这个原理，得到一系列方程。
• 将这些方程相减或相加以消除一些变量。
• 重复上述步骤直到所有变量都被分离出来。

高斯消元法详细步骤

步骤 1：选取一个变量并将其从其他变量中分离

$$\begin{array}{r}A\mathbf{x}=\mathbf{b},\end{array}$$

其中 $A$ 是矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知的向量，$\mathbf{b}$ 是常数向量。

步骤 2：用这个新变量表示一个原理，得到一系列方程

$$\begin{array}{r}(A-a_{11})x_1+\cdots +x_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+(A-a_{22})x_2+\cdots +x_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+\cdots +(A-a_{nn})x_n=b_n.\end{array}$$

步骤 3：将这些方程相减或相加以消除一些变量

$$\begin{array}{r}{\mathbf{x}}_2=({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}{)}_2,\\ x_n=b_n-\sum _{i=1}^{n-1}{a}_{ni}{x}_i.\end{array}$$

步骤 4：重复上述步骤直到所有变量都被分离出来

$$\begin{array}{r}{x}_1=b_1-\sum _{i=2}^n{a}_{i1}{x}_i,\\ x_n=b_n-\sum _{i=1}^{n-1}{a}_{ni}{x}_i.\end{array}$$

克拉默法

克拉默法是一种用于解决线性方程组的解问题的技术。它基于以下原理：

• 选取一个变量，将其从其他变量中分离出来。
• 用这个新变量表示一个原理，得到一系列方程。
• 将这些方程相减或相加以消除一些变量。

克拉默法详细步骤

步骤 1：选取一个变量并将其从其他变量中分离

$$\begin{array}{r}A\mathbf{x}=\mathbf{b},\end{array}$$

其中 $A$ 是矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知的向量，$\mathbf{b}$ 是常数向量。

步骤 2：用这个新变量表示一个原理，得到一系列方程

$$\begin{array}{r}(A-a_{11})x_1+\cdots +x_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+(A-a_{22})x_2+\cdots +x_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+\cdots +(A-a_{nn})x_n=b_n.\end{array}$$

步骤 3：将这些方程相减或相加以消除一些变量

$$\begin{array}{r}C=A^{-1},\\ b_2+c_{21}{b}_1-a_{22}{x}_2=b_2,\\ c_{31}{b}_1-c_{32}{b}_2+\cdots +(A-a_{nn})x_n=0.\end{array}$$

步骤 4：重复上述步骤直到所有变量都被分离出来

$$\begin{array}{r}{x}_1=b_1-\sum _{i=2}^n{a}_{i1}{x}_i,\\ x_n=b_n-\sum _{i=1}^{n-1}{a}_{ni}{x}_i.\end{array}$$