线性方程组之线性方程组的基本概念与表示方法

简介

线性方程组是数值分析和代数学中的一个基本概念，它描述了多个变量之间的关系。线性方程组可以用来 modeling 一些现实-world 问题，例如经济建模、物理模型等。

基本定义

线性方程组是一组 $n$ 个方程，其中每个方程都是线性方程的一种形式：

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

其中 $a_{ij}$ 是常数，$b_i$ 是一个常数，$x_i$ 是变量。

表示方法

线性方程组可以用多种表示方法来表示，其中包括：

• 矩阵形式：线性方程组可以用以下形式来表示：

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

• 向量形式：线性方程组也可以用以下形式来表示：

$$\begin{array}{rl}Ax& =b\end{array}$$

其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$x$ 是一个 $n\times 1$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m\times 1$ 的矩阵。

过程

线性方程组的解可以通过多种方法来求解，其中包括：

• 加法法：如果两个或多个方程有共同的项，可以通过在相同方程上减去其他方程来消除这些项。
• 乘法法：如果两个或多个方程是线性相关的，可以通过将一个方程乘以一个常数然后加到另一个方程中，以消除共同变量。
• 替代法：如果有多个方程且变量之间的关系复杂，则可以尝试使用替代方法来求解。