特征值与特征向量之特征值与特征向量的基本概念

特征值和特征向量的定义

特征值（也称为特征）是对一个矩阵的非零解，使得多项式det(A - λI) = 0。特征向量则是与特征值相关的非零向量。

特征值的性质

• 特征值是复数的集，并且包含在A的分子之内。
• A-λI的对角化是求解方程A x = λx的一种方法。
• 由于特征值满足 det(A - λI) = 0，所以我们可以将其写成 $$det(A - \lambda I)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i p_i(\lambda),$$其中 $p_i$ 是多项式。

特征向量的性质

• A x = λx意味着 Ax - λx = 0，这可以重写为 (A - λI)x = 0。
• (A - λI) x = 0 的解是特征向量。

对于矩阵的特征值和特征向量

$$\begin{array}{rl}& A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& amp;a_{12}\\ a_{21}& amp;a_{22}\end{array}\right],\\ & \text{设}X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],\\ & A-X\lambda I=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}-\lambda & amp;a_{12}\\ a_{21}& amp;a_{22}-\lambda \end{array}\right].\end{array}$$

如果我们将A - λI 的两个行列式设为零，则得出 $$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21}=0,$$或$$ \begin{aligned}\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&=0\ \Rightarrow \qquad\qquad \lambda&=\frac{(a_{11}+a_{22})\pm \sqrt{\left(a_{11}-a_{22}\right)^2-4a_{11}a_{22}+4a_{12}a_{21}}}{2}\ &=\frac{a_{11}+a_{22}\pm\sqrt{(a_{11}-a_{22})^2-4a_{11}(a_{22}-a_{12})}}{2}\ &=\frac{(a_{11}+a_{22})\pm \sqrt{\left(a_{11}-a_{22}\right)^2-4a_{11}a_{21}+4a_{11}a_{12}}}{2} \end{aligned}$$