矩阵理论之矩阵的逆矩阵

定义

矩阵的逆矩阵，是一个矩阵，它与原矩阵的乘积等于单位矩阵。单位矩阵是指一个矩阵，其所有元素都为 1，而行数和列数相同。

例子

假设我们有两个 2x2 矩阵：

A = | 1 2 | | 3 4 |

B = | 5 6 | | 7 8 |

A 的逆矩阵是 B。

求法

1. 公式

   $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\times \text{adj}(A)$$

其中 det(A) 是 A 矩阵的行列式，adj(A) 是 A 矩阵的共轭。

2. 计算方法

   1. 计算行列式：

      $$det(A)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

   2. 计算共轭：

      $$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right]$$

3. 计算 A 的逆矩阵：

   $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\times \left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right]$$

可逆性判断

一个矩阵的行列式不为零时，该矩阵是可逆的。

公式：

$$det(A)=0⟹A\text{ is not invertible}$$