#向量空间之向量空间的定义与性质

什么是向量空间

向量空间是由一个集合V和运算加法组成的结构。其中，集合中的每个元素称为向量，我们可以在集合V上进行以下三种操作：

• 加法：两个向量x和y属于集合V，可以使用 + 运算结合得到另一个向量x+y。
• 减法：同样两个向量x,y属于集合V，通过 - 运算将 x- y得到另一个向量。

向量空间的性质

commutativity

加法和减法满足交换律，即对于所有的x、y ∈ V，我们有：

x + y = y + x 和x - y = y - x。

associativity

在一个集合V中，对于任何x、y、z ∈ V，所有这些x+y+z都属于该集合。

distributivity

对于任何x,y,z ∈ V，我们都满足：x(y+ z) = xy+xz。

###存在单元向量

对于每个向量空间V，存在一个称为零向量的特殊元素。对于所有的x ∈ V，x+ 0_x= x。该零向量是唯一满足x + y = x 的向量y ∈ V的。

###存在加法逆元

对于任何非零向量x ∈ V，我们都存在一个称为负向量的特殊元素，称为x 的加法逆元。对于所有的y ∈ V，满足：x - (-x) = y。

###存在轨迹 对于任何一个子集T ⊂ V，对于每个向量x ∈ T，我们都存在一个唯一的多元集合X_t = { x + t |t ∈ R}，其中X_t ⊂ V。

向量空间的性质：向量之和

位置

对于所有的向量x,y ∈ V，我们有：

$$\begin{array}{rl}⟨x+y,v⟩& amp;=⟨x,v⟩+⟨y,v⟩\end{array}$$

因此，向量的加法具有线性。对于所有的实数α和β，我们都有：

$$\begin{array}{rl}⟨\alpha x+\beta y,v⟩& amp;=\alpha ⟨x,v⟩+\beta ⟨y,v⟩\end{array}$$

因此，向量的乘法也是线性的。

###正交性 对于两个向量x、y ∈ V，我们说它们是正交的，如果满足：

$$\begin{array}{r}⟨x,y⟩=0\end{array}$$

其中 < , > 表示向量与向量之间的内积。

###线性方程组

对于所有的实数α、β，我们都有：

$$\begin{array}{r}\alpha x+\beta y=z\end{array}$$

这是一个关于向量x、y和z的方程，描述了两维空间的关系。