二次型之二次型的标准形与规范形

定义和类型

二次型是一种二元多项式，其次数不超过2。它们可以分为三类：

##标准形

标准形式是指二次型的展开式，通常以常数项为首项。下面是二次型的标准形式：

a x^{2} + b x + c = 0

其中， $a, b, c \in R$ 。

##规范形

规范形式是指对二次型进行有理化或完全平方后，其形式为：

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ a (x - h)^{2} + k & = 0 \end{aligned}

其中， $a, h, k \in R$ 。

##化简方法

###完成平方

可以使用以下公式完成平方：

\begin{aligned} x^{2} + b x + c & = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4} \\ a (x - h)^{2} + k & = {(x - h)}^{2} - k \end{aligned}

其中， $h = \frac{- b}{2 a}$ , $k = c - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ 。

###有理化

如果二次型中存在虚数根，则可以使用以下公式进行有理化：

\begin{aligned} x^{2} + b x + c & = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4} \\ a (x - h)^{2} + k & = (a x)^{2} + b (a x) + c \\ = a {((x - \frac{b}{2 a}))}^{2} + \frac{- 3 a b + 2 c}{4 a} \end{aligned}

其中， $h = \frac{- b}{2 a}$ , $k = c - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ 。

##应用

二次型有许多应用场景，包括：