线性变换之线性变换的对角化

条件和方法

线性变换的对角化是研究如何将给定的线性变换表示为对角矩阵的过程。这种形式简化了计算和解方程的困难，特别是在高维空间中。

线性变换的对角化条件

对于一个 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$，线性变换的对角化条件为：$\mathrm{\exists }\text{正定值}\lambda \in \mathbb{R},\text{s.t.}\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$, ${\mathbf{\Lambda }}^2=\mathbf{A}\mathbf{\Lambda }\mathbf{A}$。

其中，${\lambda }_i$ 是特征值（或称为 Spectral values），$\mathbf{\Lambda }$ 是对角矩阵。这意味着，对于给定的线性变换 $\mathbf{A}$，如果可以找到满足 ${\mathbf{\Lambda }}^2=\mathbf{A}\mathbf{\Lambda }\mathbf{A}$ 的特征值和对应的特异值分解，则该矩阵可以进行对角化。

线性变换的对角化方法

1. 乏力法：如果线性变换是对称的，则它的特征值与特征向量都是实数。然后，我们可以将 $\mathbf{A}$ 表示为 $(\lambda )$ 的形式，即：$$\mathbf{\Lambda} = (\lambda) \mathbf{I}= \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0\ 0 & \lambda & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}$$。
2. 特征值分解法：首先，我们找到 $\mathbf{A}$ 的非零特征值 ${\lambda }_1$。然后我们计算特异值分解的特点矩阵$\mathbf{P}$，即：$$\mathbf{P}^{-1}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} e_{1,1} & e_{2,1} & \cdots & e_{n,1}\ e_{1,2} & e_{2,2} & \cdots & e_{n,2}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ e_{1,n} & e_{2,n} & \cdots & e_{n,n} \end{pmatrix},$$其中 $e_{i,j}$ 是一个标准向量。

然后，根据 ${\lambda }_1$，我们找到对应的特异值分解。因此，我们可以将 $\mathbf{\Lambda }$ 表示为：$$\mathbf{\Lambda} = (\lambda) \mathbf{P}\begin{pmatrix} e_{1,1} & e_{2,1} & \cdots & e_{n,1}\ e_{1,2} & e_{2,2} & \cdots & e_{n,2}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ e_{1,n} & e_{2,n} & \cdots & e_{n,n} \end{pmatrix}\mathbf{P}^{-1},$$即： $$\mathbf{\Lambda} = (\lambda)\begin{pmatrix} e_{1,1} & e_{2,1} & \cdots & e_{n,1}\ e_{1,2} & e_{2,2} & \cdots & e_{n,2}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ e_{1,n} & e_{2,n} & \cdots & e_{n,n} \end{pmatrix}\mathbf{P}^{-1}.$$

因此，给定的线性变换可以进行对角化。