向量空间之线性无关与线性相关

== 定义 ==

向量空间中的两个非零向量 $x$ 和 $y$ 称为线性相关的当存在一个不等于零的实数 $c$，使得：

$$cx+y=0$$

另一方面，指向量空间中的两个非零向量 $x$ 和 $y$ 称为线性无关的，当没有任何实数 $c$，使得：

$$cx+y=0$$

== 判断方法 ==

1. 判断两个向量是否线性相关的方法

如果存在一个不等于零的实数 $c$，使得：

$$cx+y=0$$

则两个向量 $x$ 和 $y$ 是线性相关的。

可以通过将 $y$ 分离出来并得到：

$$c=-\frac{y}{x}$$

如果 $c$ 的值不是实数，则两个向量是线性无关的。

2. 判断两个向量是否线性无关的方法

如果没有任何实数 $c$，使得：

$$cx+y=0$$

则两个向量 $x$ 和 $y$ 是线性无关的。

可以通过检查表达式 $cx+y$ 的判别式是否为零：

$$\left|\begin{array}{cc}x& y\\ c& 1\end{array}\right|=0$$

如果判别式为零，则存在实数 $c$，使得 $cx+y=0$。因此，这两个向量是线性相关的。

3. 综上所述

• 如果存在一个不等于零的实数 $c$，使得 $cx+y=0$，则这两个向量 $x$ 和 $y$ 是线性相关的。
• 如果没有任何实数 $c$，使得 $cx+y=0$，则这两个向量 $x$ 和 $y$ 是线性无关的。

== 应用 ==

线性无关与线性相关在几何学和代数中有很多应用。例如，在几何空间中，我们可以通过检查两个点是否在同一平面上来确定它们是线性相关的或不（这对解决几何问题非常有帮助）。