线性变换之线性变换的不变子空间：定义与性质

定义

线性变换是一种对向量的线性映射，它可以表示为 $$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x},$$ 其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵， $x$ 是 $n \times 1$ 的向量。

线性变换的不变子空间是它对任意向量 $v \in V$ 进行映射后得到的结果集。也就是说，它会保留子空间 $V$ 的特征。形式上，这可以表示为：

W = {f (x) ∣ x \in V}

性质1：线性变换的不变子空间是向量集的集合

线性变换对任何向量集都有定义。因此，线性变换的不变子空间也是一个向量集。

证明

设 $W = {f (x) ∣ x \in V}$ 。则对于任何向量 $v$ 和其标量倍数 $c$ ，我们有：

c v = c (f (x)) = (f (c x)) \in W

因此， $W$ 是一个向量集。

性质2：线性变换的不变子空间是对称的

如果 $A$ 和 $B$ 是两个矩阵，且它们满足以下条件：

A B = I_{n}, A B = B A = I_{m}

其中 $I_{n}$ 和 $I_{m}$ 是 $n \times n$ 和 $m \times m$ 的单位矩阵，则对于任何向量 $x$ ，我们有：

f (x) + g (x) = A x + B x = (A + B) x

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。

证明

设 $W = {f (x) ∣ x \in V}$ 。对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

g (x) - g (y) = B (A^{- 1} (f (x) - f (y)) + A^{- 1} (g (y) - f (y)))

因为 $A B = I_{n}$ ，所以 $f (x) - f (y) \in W$ 。因此，

g (x) - g (y) \in W

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。

性质3：线性变换的不变子空间是对称的

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵， $V$ 是一个 $n \times 1$ 向量集。那么，对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (A x)^{T} (A y)

因为 $A$ 是一个线性变换，所以对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = ⟨ f (x), f (y) ⟩

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。

证明

设 $V = {x ∣ x \in V}$ 。那么，对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (A x)^{T} (A y) = (f (x))^{T} (f (y))

因为 $A B = I_{n}$ ，所以对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (f (x))^{T} (f (y)) = ⟨ f (x), f (y) ⟩

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。

性质4：线性变换的不变子空间是对称的

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵， $V$ 是一个 $n \times 1$ 向量集。那么，对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (A x)^{T} (A y)

因为 $A$ 是一个线性变换，所以对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = ⟨ f (x), f (y) ⟩

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。

证明

设 $V = {x ∣ x \in V}$ 。那么，对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (A x)^{T} (A y) = (f (x))^{T} (f (y))

因为 $A B = I_{n}$ ，所以对于任何向量 $x, y \in V$ ，我们有：

⟨ A x, A y ⟩ = (f (x))^{T} (f (y)) = ⟨ f (x), f (y) ⟩

这表明，对于任何向量集 $W$ ，如果 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则对于任何矩阵 $B$ 满足 $A B = I_{n} 、 B A = I_{m}$ ，则 $W$ 也是 $B$ 的不变子空间。