二次型之二次型的惯性定理

介绍

二次型之二次型的惯性定理是一项重要的线性代数理论结论，它描述了一个线性方程组的解系数空间中的性质。该定理对于解决多变量线性方程组的问题有着极大的帮助。

定义

给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，其行列式由 $|A|$ 表示。如果 $x$ 是 $Ax=b$ 的解，则根据二次型之二次型的惯性定理，解集 $x$ 位于 $R(|A|)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|Ax|=0\}$ 内。其中，${\mathbb{R}}^n$ 是 $n$ 维空间。

证明

为了证明这个定理，我们首先考虑一个二次型方程 $a{x}^2+bx+c=0$。如果这个方程有解，则表达式 $\frac{1}{4a}(b-\sqrt{b^2-4ac})$ 不等于零，这个表达式代表根的平均值。

现在，我们需要证明当二次型方程存在解时，表达式不等于零。假设 $a{x}^2+bx+c=0$ 有解，且根的平均值为 $\mu =\frac{1}{4a}(b-\sqrt{b^2-4ac})$。由于根的和是 $-\frac{b}{a}$，我们可以建立以下等式：

$$\mu +(-\frac{b}{a})=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{4a}-\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}-4ac}{4a}.$$

通过代入 $\sqrt{b^2-4ac}$，我们得到：

$$\mu +(-\frac{b}{a})=\frac{-3c+(-1{)}^2\cdot a^{2}b}{8a^2}=0.$$

这表明，当二次型方程存在解时，其根的平均值为 $-\frac{b}{4a}$，因此根必定相加为零。从这里开始我们可以得出结论：$x=0\in R(|A|)$。

由于上述推理对于所有行列式 $|A|$ 都成立，我们可以得出结论：对于所有 $m\times n$ 矩阵 $A$，$R(|A|)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|Ax|=0\}$。