二次型之二次型的定义与矩阵表示

什么是二次型

二次型是数值代数中的一个基本概念，它描述了一个双曲线或椭圆等曲线的形状。它可以用多个方法来表示，包括方程式、图像和矩阵。

二次型的定义

二次型是一个三维空间中两个变量x_{1} 和 x_{2} 的二次表达式，该表达式可以写成：

$$f(x_1,x_2)=a{x}_1^2+b{x}_2^2+c{x}_1{x}_2+d{x}_1+e{x}_2$$

其中，a、b、c、d 和 e 是常数。

矩阵表示

二次型也可以用矩阵表示。给定一个 3x3 矩阵 A，以下表示一个二次型：

$$f(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

矩阵 A 的形式如下：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$$

其中，$a_{ij}$ 是矩阵 A 的元素。

例子

以下是一个例子：

给定一个矩阵 A如下：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 1& 4& 2\\ 3& 0& 5\end{array}\right)$$

我们可以计算出二次型 $f(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$：

这表明二次型 $f(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_2^2-3x_1{x}_2+6x_1+2x_2$。