多项式理论之代数基本定理：内容与意义

什么是代数基本定理

代数基本定理（或称为 Bezout定理）是欧几里得关于多项式的重要结果，概括了两个非零多项式在任意两个不相等多项式的分母下的公约率。这种定理对于理解多项式的性质和行为至关重要。

什么是多项式

一个多项式是一种以一个或多个变量为基础的表达式，其中每个变量都与某些系数（常数）相关联，例如：

$$p(x)=a{x}^2+bx+c$$

其中 $a,b,$ 和 $c$ 为实数，而 $x$ 是单个变量。

什么是公约率

给定两个非零多项式$p(x)$和$q(x),$，我们可以求出它们的公约率（或说，它们的最大共同因子），表示为 $gcd(p(x),q(x)).$

代数基本定理的陈述

代数基本定理的一般形式是：

$$gcd(p(x),q(x))=d(x)$$

其中 $d(x)$ 是两个多项式之间的一个非零多项式。

证明

我们首先考虑 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是两个一项多项式的例子。根据余数定理，存在某个实数 $r$，使得：

$$p(r)=q(r)$$

然后，我们可以通过使用欧几里得算法，得到：

$$gcd(p(x),q(x))=p(x)-rp(x)+r$$

因为 $q(x)$ 和 $p(x)-rp(x)+r$ 是两个一项多项式的最小公约率，所以它们必须相等。这给出了 $gcd(p(x),q(x))=d(x).$

总结

代数基本定理概括了两个非零多项式之间的最大共同因子。这个定理对于理解多项式的性质和行为至关重要，并且它在多项式代数中起着至关重要的作用。

进一步阅读

如果您想更深入地了解代数基本定理，请参阅以下资源：

• 欧几里得算法
• 多项式的性质
• 代数基本定理的应用