多项式理论之多项式的根：定义、性质与求法

定义

多项式的根，是一个多项式方程的解。一个多项式 $f (x)$ 的根是指满足方程 $f (x) = 0$ 的 $x$ 值。

\sum_{i=1}^{n} r_i = -\frac{b}{a},$$其中 $a$ 和 $b$ 是多项式中最高次项的系数。 3. **根的乘积公式**: 如果 $r_1, r_2, ..., r_n$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $$\prod_{i=1}^{n} r_i = (-1)^{n}\frac{k}{a},$$其中 $k$ 是多项式中常数项的系数。 ## 求法 ### 1. 直接分解 如果有一个简单的多项式，例如 $(x-2)(x+3)$，那么可以直接从因数中找到根。 ### 2. 逐步消除法 对于复杂的多项式，可以使用逐步消除法： 1. 将多项式转化为有理系数。 2. 使用长除法或 synthetic division 来分解多项式。 3. 分解后的因数可以再次应用于步骤 1-2。 ### 3. 合并二次方程 如果多项式是二次方程，例如 $x^2 + 4x + 4 = 0$，则可以使用以下公式来找到根： $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

在此例中， $a = 1, b = 4, c = 4$ 。

对于无法通过上述步骤直接求解的多项式，可以使用以下数值方法：

对于非常复杂的多项式，可以使用代数软件如MATLAB, Python 等，直接求解多项式的根。