多项式理论之多项式的因式分解：基本概念与方法

什么是因式分解？

在多项式理论中，因式分解是将一个多项式表示为其素因数的乘积。例如，给定一个多项式 $p (x) = a x^{2} + b x + c$ ，我们可以写成 $p (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ ，其中 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是 $p (x)$ 的根。

在多项式理论中，一个多项式的因式分解可以通过使用线性方程组来实现。给定一个多项式 $p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ ，我们可以写出以下线性方程组：

\begin{aligned} a_{1} r_{1} + a_{2} r_{2} + . . . + a_{n} r_{n} & = p (0), \\ a_{1} r_{1}^{2} + a_{2} r_{2}^{2} + . . . + a_{n} r_{n}^{2} & = p^{'} (0), \\ ⋮ \\ a_{1} r_{1}^{n} + a_{2} r_{2}^{n} + . . . + a_{n} r_{n}^{n} & = p^{(n)} (0) \end{aligned}

其中 $p^{'} (x)$ 和 $p^{(n)} (x)$ 是多项式的导数和第 $n$ 次导数。

给定一个多项式 $f (x) = \sum_{i = 1}^{m} b_{i} x^{i}$ ，我们可以使用以下公式找到 $f (x)$ 的最小多项式：

\begin{aligned} L (x) = (x - r_{1}) (x - r_{2}) . . . (x - r_{m}), \\ | b_{1} | \leq | b_{i} |, \\ | b_{1} + b_{2} x + . . . + b_{m} x^{m} | \leq | b_{i} + b_{i + 1} x + . . . + b_{j} x^{j} | . \end{aligned}

其中 $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{m}$ 是 $f (x)$ 的根。

给定一个多项式 $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ ，我们可以使用以下公式分解为素因数：

\begin{aligned} D (x) = \prod_{i = 1}^{k} (x - r_{i}), \\ | a_{n} | \leq | a_{i} |, \\ p (x) = a_{n} D (x) . \end{aligned}

其中 $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{k}$ 是 $p (x)$ 的根。

给定一个多项式 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$ ，我们可以使用以下步骤找到它的因式分解：

\begin{aligned} a_{1} r_{1} + a_{2} r_{2} + . . . + a_{n} r_{n} & = p (0) \\ x^{3} + 2 x^{2} - x - 1 = 1, \\ r_{1} + 2 r_{2} - r_{3} - 1 & = 0, \end{aligned}

\begin{aligned} L (x) = (x + 1) (x^{2} - x - 1) . \\ | a_{1} | \leq | a_{i} | . \\ (x + 1) (x^{2} - x - 1) = (x + 1) [\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + x}] \equiv \end{aligned}

(x + 1) \frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1)} = x + 1.

\begin{aligned} D (x) = (x - 1), \\ | a_{n} | \leq | a_{i} | . \\ (x - 1) = [\frac{x + 2}{(x + 1)}] \cdot (x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 6) . \end{aligned}

通过使用上述方法，我们可以将多项式的因式分解表示为其素因数的乘积。