#线性变换之线性变换的核与像空间：定义、性质与计算 ##线性变换和其核

线性变换是一种对向量进行线性运算的操作，具有以下特征：

• $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
• $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

线性变换可以表示为一个矩阵的乘积：

$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$

其中，$A$ 是一个矩阵，$\mathbf{x}$ 是输入向量。

线性变换的核是指通过线性变换对所有向量产生的结果集。在数学上，一个函数 $f$ 的核是指所有实数 $t$，使得对于所有 $x$，$f(tx)=tf(x)$。这意味着，对于任何输入向量 $\mathbf{x}$，线性变换 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 是一个线性函数。

##线性变换的核空间

线性变换的核空间是指所有由线性变换对所有向量产生的结果集。也可以称为$\mathrm{Im}T$，表示“图像”。

如果 $\mathcal{H}$ 是一个线性空间，那么对于任意 $T\in \mathcal{L}(V,\mathcal{H})$，我们可以定义以下几种情况：

• $T$ 是一个恒等变换：$T$ 在 $\mathcal{H}$ 上是可逆的。
• $T$ 不是恒等变换，但它的核空间不是全空集：$\mathrm{Im}T\ne \{0\}$。

线性变换的核空间满足以下性质：

• $\mathrm{Ker}T=\{\mathbf{x}\in V|T(\mathbf{x})=0\}$ 是一个子线性空间。
• $\dim (\mathrm{Im}T)+\dim (\mathrm{Ker}T)=n$，其中 $n$ 是输入向量的维度。

##线性变换的像空间

线性变换的像空间是指所有可能通过线性变换对输入向量产生的结果集。也可以称为$\mathcal{H}$，表示“范围”。

如果 $\mathcal{V}$ 是一个线性空间，那么对于任意 $T\in \mathcal{L}(\mathcal{V})$，我们可以定义以下几种情况：

• $T$ 为可逆的变换：存在一个可逆的变换 $S\in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{V})$ 使得 $TS=I_V$。
• $T$ 不是可逆的变换，但它的像空间不是全空集：$\mathrm{Im}T\ne \{0\}$。

线性变换的像空间满足以下性质：

• $\mathcal{H}=T(\mathcal{V})=\{\sum _{i=1}^n{a}_{i}T({\mathbf{v}}_i)\}$ 是一个子空间。
• $T$ 为可逆时，$\dim (\mathrm{Im}T)=n$。

##线性变换的核与像

线性变换的核和像是对应于不同的量。其中，核表示了对输入向量的映射，而像则表示了对输出向量的映射。两者之间的关系如下：

• $T(\mathbf{v})=0$ 表示 $\mathbf{v}$ 的映射为零。
• $T(\mathbf{x})\in \mathrm{Im}T$ 表示输入向量 $\mathbf{x}$ 的映射位于图像空间内。

线性变换的核与像可以通过以下公式计算：

$$\begin{array}{rl}\dim (\mathrm{Ker}T)+\dim (\mathrm{Im}T)& =n\\ \dim (\mathrm{Im}T)& =n-\dim (\mathrm{Ker}T)\end{array}$$

上式表明，线性变换的核和像空间的维度之和等于输入向量的维度。