矩阵理论之矩阵的秩

定义

矩阵的秩是指一个矩阵的最小排列行数。它是一个重要的概念在线性代数和计算机算法中。

性质

1. 正定理: 如果A是m\times n的矩阵，则秩满足0\leq\rank(A)\leq\min(m,n)。
2. 交换律: If $rank(A)=k$, then $\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)$ for any $m\times n$ matrix B.
3. 加法律: If $rank(A)=k$ and $rank(B)=l$, then $\text{rank}(A+B)\le k+l$.

计算

1. 归一化：如果矩阵A具有列向量的非零值，则可用SVD来求其秩。
2. 奇异值分解（SVD）：通过奇异值分解计算出一个矩阵的秩。

例子

给定两个3\times 4的矩阵A和B，其奇异值分解如下：

$$\begin{array}{rl}A& =U\mathrm{\Sigma }{V}^T\\ B& =V\mathrm{\Sigma }{U}^T\end{array}$$

从这里，我们可以计算出$rank(A)$和$rank(B)$。

代码示例（Python）

import numpy as np

# 生成一个矩阵A
np.random.seed(0)
A = np.random.rand(3,4)

# 计算A的秩
print(np.linalg.matrix_rank(A))

这段代码使用 NumPy 的 linalg.matrix_rank 函数计算出矩阵 A 的秩。