矩阵理论之矩阵的行列式：定义、性质与计算方法

定义

矩阵的行列式是一种重要的线性代数概念，描述了一个矩阵的特性。其定义是指在矩阵中某一行或一列上的元素进行运算（加法或乘积），然后将该行或列向量与另一种行或列向量进行点积。

性质

1. 行列式为线性函数

行列式为线性函数，即当矩阵中某一行或一列的元素变化时，结果中的行列式也会随之变化。

2. 行列式是唯一的对称多项式

任何具有 $n\times n$ 矩阵的分解，都可以使用行列式来描述该矩阵。这意味着行列式是唯一满足以下性质的多项式：

$$\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]=0⟹det\left[\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right]=0.$$

计算方法

1. 最简单的计算方法

对于 $2\times 2$ 矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，行列式由以下公式给出：

$$det\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc.$$

对于 $3\times 3$ 矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，行列式由以下公式给出：

$$det\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31}).$$

2. LU 分解

对于任何 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$，可以使用 LU 分解来计算其行列式：

$\mathbf{A}=L\mathbf{U}$

其中 $\mathbf{L}$ 是下三角矩阵，$\mathbf{U}$ 是上三角矩阵。然后：

$det\mathbf{A}=det(L\cdot U)=(detL)(detU)$。

由于 $detL=1$ 和 $detU=\prod _{i,j=1}^n{u}_{ij}$，因此可以计算出行列式的值。