特征值与特征向量之相似矩阵：定义、性质与相似变换

定义

在线性代数中，给定一个$n\times n$ 矩阵 $A$，如果存在一个正方形矩阵 $P$ 和一个实数矩阵 $D$，其中 $D$ 的主对角线元素是 $A$ 的特征值，并且满足以下条件：

$$PA=PD{P}^{-1}=D$$

则 $P$ 和 $D$ 称为 $A$ 的特征向量矩阵和特征值矩阵。这些矩阵的性质对线性代数的应用具有重要意义。

性质

1. 正交关系：如果 $P$ 是一个正交矩阵（即 $P^{T}P=I$），则对于任意的特征值和特征向量，$({\lambda }_i,v_i)$ 和 $({\lambda }_j,v_j)$ 满足以下条件：

$$v_i^T{v}_j={\delta }_{ij}$$

其中 ${\delta }_{ij}$ 是 Kroenecker_delta（Kronecker delta）函数。 2. 特征向量的线性独立性：对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，如果 $P$ 是其特征向量矩阵，则所有特征值 ${\lambda }_i$ 和对应的特征向量 $v_i$ 的列向量满足以下条件：

$$\left[\begin{array}{cccc}{v}_{11}& v_{12}& \cdots & v_{1n}\\ v_{21}& v_{22}& \cdots & v_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_{n1}& v_{n2}& \cdots & v_{nn}\end{array}\right]$$

其中特征向量的行列式（即多项式的判别式）为零，即：

$$\left|\begin{array}{cccc}{v}_{11}& v_{12}& \cdots & v_{1n}\\ v_{21}& v_{22}& \cdots & v_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_{n1}& v_{n2}& \cdots & v_{nn}\end{array}\right|=0$$

如果所有特征值 ${\lambda }_i$ 为零，则列向量 $v_{ij}$ 是零矩阵。 3. 特征值的相加和：对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，其特征值之和等于其主对角线元素之和，即：

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\text{Tr}(A)$$

其中 $\text{Tr}(A)$ 表示矩阵 $A$ 的trace。 4. 特征值的乘积：对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，如果 $P$ 是其特征向量矩阵，则特征值之乘积等于：

$$\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=det(A)$$

其中 $det(A)$ 表示矩阵 $A$ 的行列式。

相似变换

对一个$n\times n$矩阵$A$，如果存在一个正方形矩阵$P$和一个实数矩阵$D$，其特征值的主对角线元素满足$D=P^{-1}AP$，则称$A$为$P$的相似变换，表示$A$在$P$的基础上进行了标准化。