同态与同构之环的自同构群

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同态与同构之环的自同构群是指一个环的自同构群，它包含环的相应性质和结构。

Rings' 自同构群的定义

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一个环R的自同构群S_R是由多元函数F：R→R给出的。其中，多元函数F满足以下条件：

$$\begin{array}{rl}F(x+y)& amp;=F(x)+F(y),\\ F(xy)& amp;=F(x)F(y).\end{array}$$

Rings' 自同构群的性质

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自同态性质

一个自同构群S_R是环R的自同构群，当且仅当对于所有x,y∈R，多元函数F：R→R给出的，s(x) = F(x), s(y) = F(y)，其中s：R→R，满足以下条件时。

$$\begin{array}{rl}\text{s}(xy)& amp;=\text{s}(x)\text{s}(y),\\ \text{s}(x+y)& amp;=\text{s}(x)+\text{s}(y).\end{array}$$

同构性质

一个自同构群S_R是环R的同构群，当且仅当对于所有x,y∈R，多元函数F：R→R给出的，s(x) = F(x), s(y) = F(y)，其中s：R→R，满足以下条件时。

$$\begin{array}{rl}s(xy)& amp;=s(x)s(y),\\ s(x+y)& amp;=s(x)+s(y).\end{array}$$

Rings' 自同构群的运算

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一个环R的自同构群S_R的乘积操作定义为：

$$\begin{array}{rl}(F_1\circ F_2)(x)& amp;=F_1(F_2(x))。\end{array}$$

闭合性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_1\circ F_2)(x)\\ & amp;=F_1(F_2(x)).\end{array}$$

该运算是闭合的。

对称性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_2\circ F_1)(x)\\ & amp;=F_2(F_1(x)).\end{array}$$

该运算是对称的。

关联性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_1\cdot F_2)(x)\\ & amp;=\text{id}(x)\circ (F_1\circ F_2)(x)\\ & amp;=(F_1\circ F_2)(x),\end{array}$$

其中id：R→R，表示单位运算。

分解性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_1\cdot F_2)(x)\\ & amp;=(F_1\cdot \text{id})(x)\circ (F_2\circ \text{id})\\ & amp;=(F_1\circ F_2)(x),\end{array}$$

其中id：R→R，表示单位运算。

主因素性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_1\cdot F_2)(x)\\ & amp;=(F_1\cdot \text{id})\circ (F_2\circ \text{id})\\ & amp;=(F_1\circ F_2)(x),\end{array}$$

其中id：R→R，表示单位运算。

分解性

对于所有F：R→R，F_1、F_2 ∈ S_R，定义以下运算：

$$\begin{array}{rl}{F}_1\circ F_2& amp;=(F_1\cdot F_2)(x)\\ & amp;=(\text{id}\cdot F_1)\circ (F_2\cdot \text{id})\\ & amp;=(\text{id}\circ F_1)(x)+(\text{id}\cdot F_2)(x).\end{array}$$

该运算是分解的。