同余类与商环的联系

同余类和商环都是 Ring Theory 的两个重要概念。

什么是同余类？

同余类是Ring Theory 中一个基本的构造，它可以将一个 ring 分为相同元素集的多个部分。给定一个 ring R 和一个子集 I of R，称 I 为 R 上的一个同余类，它包含所有满足 x ≡ y（模 r）的一个 x 和 y 的和、积，以及 x + y 和 xy 的加法和乘法。

同余类的性质

• 相同元素集：如果I 是一个同余类，且x 和y 为 I 中的两个元素，则存在一个 r ∈ R 使得 x ≡ y（模r）。
• 加法和乘法：对于所有 a、b ∈I 上的 a+b 和 ab，我们有 (a+b) + b = a + (a+b) 且 ab + a = a(ab+1)。
• 对于所有 a、b ∈I 上的 a−b，我们有 (a−b)⋅(a+b)=0。

什么是商环？

一个 ring R 是一个商环，如果它可以分解为同余类的多个部分，其中每个部分都是一个子集，且这些子集满足如下条件：

• R 的所有元素均属于某些同余类。
• 对于所有 a、b ∈R 上的 a-b，我们有 (a−b)⋅(a+b)=0。

例子

一个 ring 可以分解为多个同余类，并且成为商环的最小ring就是整数Ring Z，Z可以写成以下几个同余类：

• Z/2Z：其中所有数字都是偶数。
• Z/4Z：其中所有数字是4的倍数。
• Z/6Z：其中所有数字都比3大1。

同余类与商环之间的联系

对于所有 Ring R，如果R 是一个商环，那么它就是一个同余类。同时，一个 Ring R 可以被分解为多个同余类，那么这些同余类就构成了 R 上的商环。如果存在r ∈R 且有一个 r+R 的环，则这个环也是一个同余类。

结论

Ring Theory 中同余类和商环之间存在着重要的联系，它们都是 Ring Theory 中构造 ring 和分析 ring 的两个基本概念。