ring-theory

加法群、乘法封闭性和分配律

ring的定义

一个ring是组合结构的一种，其中满足以下条件：

• additive群R上的加法运算是可关联的。
• 每个元素都有一个逆元。
• 两个逆元的乘积为1。

加法群和乘法封闭性

加法群

一个加法群是一个集合中的加法运算，该运算满足以下条件：

$$a+b=b+a,a+(b+c)=(a+b)+c,c-a=-c+a$$

对于每个元素a，存在一个逆元-a，使得a+a=0。

乘法封闭性

对于两个 ring R中的元素a和b，意味着存在一个逆元r使得ar=b。则表明乘法运算满足以下条件：

$$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1},a(b^{-1})=b{a}^{-1}.$$

分配律

对于 ring R中的元素a、b 和 c，意味着存在一个逆元r，使得ar=ba。则表明乘法运算满足以下条件：

$$(ab)c=a(bc),(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}.$$

对称性

对于 ring R中的元素a 和 b，意味着存在一个逆元r，使得ar=b。则表明加法和乘法运算满足以下条件：

$$(ba)b=a(bb).$$

ring的基本性质

ring中的单位元

一个ring中存在一个单位元1，使得a\cdot 1=1\cdot a=a。

ring中的逆元

对于 ring R中的元素a，存在一个逆元a^{-1}使得a\cdot a^{-1}=1,.$$

ring中的加法和乘法的交换律

对于 ring R中的元素a、b 和 c，意味着存在一个逆元r，使得ar=b。则表明加法和乘法运算满足以下条件：

$$(ab)c=a(bc),(ba)b=b(a{a}^{-1}).$$

ring中的分配律

对于 ring R中的元素a、b 和 c，意味着存在一个逆元r，使得ar=b。则表明加法和乘法运算满足以下条件：

$$(ab)c=a(bc),(ba)b=b(a{a}^{-1}).$$

ring中的对称性

对于 ring R中的元素a 和 b，意味着存在一个逆元r，使得ar=b。则表明加法和乘法运算满足以下条件：

$$(ba)b=a(bb).$$

ring中的单位元

一个ring中存在一个单位元1，使得a\cdot 1=1\cdot a=a。

ring中的逆元

对于 ring R中的元素a，存在一个逆元a^{-1}使得a\cdot a^{-1}=1,.$$