环的定义与基本性质
环是一种数学结构，其内部具有加法和乘法操作，并满足以下两个基本性质：
定义
环是一个集合R，以及两个运算+和*（通常分别称为加法和乘法），使得:
- R 中的所有数字都可以通过这些运算获得。
- R 中的所有数字都是可供使用的。
性质
1. 关系 closed
对于任何两个元素a、b在R中的，a*b也必须是R中的一个元素。因此，R是一个闭式集。
2. 操作满足关联性和结合性
对于任何三个元素a、b、c在R中，满足以下条件：
- a + (b + c) = (a + b) + c
- (a + b) * c = a * (b * c)
- a * (b + c) = a * b + a * c
3. 操作没有对称性
对于任何两个元素a、b在R中，a*b ≠ b*a。
4. 操作具有单位元
对于任何一个元素a在R中，存在一个单位元1，使得：
- a + 1 = 1 + a = 1
环的类型
除了整数环和多项式环外，还有许多其他类型的环。
整数环
定义
整数环是一个环，其元素是整数，具有以下性质：
- 加法：两个整数a、b加法结果为a + b。
- 乘法：两个整数a、b乘法结果为a * b。
性质
- 关系 closed
- 操作满足关联性和结合性
- 操作没有对称性
- 操作具有单位元
例子
环上的加法是可逆的
对于任何一个整数a，存在一个元素-a，它们的加法结果为0。
环上的乘法是可逆的
对于任何一个非零整数a，存在一个元素1/a，它们的乘法结果为1。
多项式环
定义
多项式环是一个环，其元素是多项式，可以通过加法和乘法操作。
性质
关系 closed
对于两个多项式p(x)、q(x)，它们可以通过对应项求和和相乘得到另一个多项式，因此它们也是多项式环的成员。
操作满足关联性和结合性
对于三个多项式p(x)、q(x)、r(x)，它们的加法和乘法都是可取的，并且满足关联性和结合性。
操作没有对称性
对于两个多项式p(x)、q(x)，它们的乘积p(x)*q(x) ≠ q(x)*p(x)。
操作具有单位元
- 多项式常数是单位元。
- 如果一个多项式有一个非零系数，则其对应的单位元是该多项式本身。
例子
矩阵环
定义
矩阵环是一个环，其元素是矩阵，可以通过加法和乘法操作。
性质
关系 closed
对于两个矩阵A、B，A + B是矩阵的另一个成员，满足A + B的所有运算。
操作满足关联性和结合性
对于三个矩阵A、B、C，(A + B) + C = A + (B + C) 和(A + B)*C = A*(B + C)，且满足其他关联性和结合性。
操作没有对称性
对于两个矩阵A、B，AB ≠ BA。
操作具有单位元
- 单位矩阵是所有单位元的集合。
- 如果一个矩阵的乘积为单位矩阵，则它的逆也在这个环中。