多项式环之多项式环的因式分解

what 是什么？

多项式环（Polynomial Ring）是 ring theory 中的一个基本概念。它是一种环，其元素是多项式，运算是两个多项式的点乘。

单独多项式环的因式分解

1. 单独多项式环（K[x])

对于单独多项式环 K[x]，因式分解的形式为：

$$p(x)=(a_n{x}^n+\cdots +a_0{)}^m$$

其中 $a_i$ 是常数，其degree 为 0 到 n。

2. 多项式环中的多项式环（K[x, y])

对于多项式环 K[x,y]，因式分解的形式为：

$$p(x,y)=(f_1(x,y),\dots ,f_m(x,y))$$

其中 $f_i$ 是一种多项式，其degree 为 0 到 min(n, m)。

分解整环的因式分解

1. 主要理论定理

对于一个整数 ring I，根据 Krull's Principal Ideal Theorem，我们可以将其整除为：

$$I=\bigcap _{i=1}^n{P}_i$$

其中 $P_i$ 是 $I$ 的主因子，满足以下条件：

• $P_i$ 是局限的
• $I/P_i$ 是无关的

2. 主要理论应用

主要理论有许多应用于 ring theory、代数几何等领域。例如，它提供了一种方式来研究整数环和它们的因式分解。

结论

多项式环和其因素的作用是 ring theory 中非常重要的一部分。它为我们提供了一个框架来理解和研究整数环及其因式分解。