理想与商环之理想的性质：理想与子环的关系
理想和商环是代数结构中的重要概念，了解它们之间的关系对于理解多项式 ring theory 很有帮助。
理想与商环的定义
一个理想（ideal）是ring 中的一个集合，满足以下条件：
- 0 belongs to ideal（0属于理想）
- 如果a 和 b 属于理想，则a + b 也属于理想（a、b 属于理想则a + b也属于理想）
- 如果a 和 b 属于理想，则ca 和 cb 也属于理想（a 和 b 属于理想，且c 是 ring 中的任意元素，则ca 和 cb 也属于理想）
一个商环是两个理想之间的一个集合，满足以下条件：
- 0 belongs to商环
- 如果a 和 b 属于商环，则a + b 也属于商环（a、b 属于商环则a + b也属于商环）
- 如果a 和 b 属于商环，则ca 和 cb 也属于商环（a 和 b 属于商环，且c 是 ring 中的任意元素，则ca 和 cb 也属于商环）
理想与子环的关系
理想与子环之间的关系非常重要。一个理想I 使得ring F 可以被 I 整除，这意味着对于任何 F 中的a，存在b 使得 (a-b) belongs to I。这种情况下，F 上的任意多项式方程，可以用 I 整除。
理想与商环之间的关系
理想I 与商 ring S 之间的关系，可以使用以下公式表达：
其中、a 和 b 是 ring 中的任意元素。这个公式表明，一个商 ring S 由两个理想 I 和 ring F 的所有乘积构成。
理想生成（Ring Theory）
理想生成是理解多项式ring theory 中的一种基本概念。它指的是从 ring 中生成一个理想I 的过程。在 ring theory 中，理想生成可以用以下公式表达：
这个公式表示了一个理想I 由 ring F 和 I 本身的所有乘积构成。
理想与商环之理想的性质：理想生成
理解理想生成对于理解多项式ring theory 很有帮助。它可以用以下公式表达：
这个公式表示了一个理想I 由一个子环J 和 ring F 的所有乘积构成。