多项式环之系数环与多项式环的定义

系数环的定义

系数环是指一个多项式 ring 中的数字集。它可以认为是一个复合数的集合，其中每个元素都是复数。

概述

一个多项式 ring 的系数环是指 ring 中所有可能的系数。例如，$\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 的常数环，它包含所有整数。

多项式环的定义

多项式环是指一个 ring 中的多项式的集。它可以认为是一个元素集合，其中每个元素都是多项式。

概述

一个多项式 ring 是指 ring 中所有可能的多项式。例如，$\mathbb{Z}[x]$ 是 $\mathbb{Z}$ 的多项式环，它包含所有形式为 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 的多项式。

系数环与多项式环的关系

系数环和多项式环之间存在着密切的关系。一个 ring 的常数环是指它的多项式环中所有多项式的系数。例如，$\mathbb{Z}$ 的常数环是 $\mathbb{Z}[x]$ 中所有常数的集合。

公式

$$\sigma (x)=\{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0|a_i\in R\}$$

其中 $\sigma (x)$ 是多项式环中的多项式，$R$ 是系数环。