多项式环之多项式环的单位与不可约多项式：定义与性质

引入

在代数中，一种多项式环（ring）是一个集合，它包含了多项式的值。一个多项式环的单位是它的一个元素，使得该元素可以用于除法，从而得到另一个元素的逆元。在本文中，我们将介绍多项式环的定义、单位和不可约多项式的性质。

定义

一个多项式环R，可以被定义为：

$$R=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...|a_i\in k,x\in F\},$$

其中$k$是基数，F是实体集合，所有多项式的系数都在k中。

单位

一个单位元素u在R上满足以下条件：

$$au=u(a)$$

其中a、u都是R中的元素。这个定义意味着，当我们将一个单位元素乘以另一个元素时，我们得到同一个原始元素，或者乘以另外一个单位元素时也会得到相同的结果。

无法分解的多项式

一个多项式f是无法分解的（irreducible）如果它不能被其他非零多项式分解为等式：

$$f=gh$$

其中g和h都是R上的多项式。一个多项式f是可分解的（reducible）如果它可以被其他非零多项式分解。

性质

以下是一些关于单位和无法分解多项式的性质：

• 单位存在：无论多项式环R是否有0为单位，都一定存在一个单位元素。
• 无量纲转换：当我们在一个多项式环上使用无量纲转换时，我们会得到另一个可用单位元素，从而得到原单位的逆元。

最后

这本文介绍了多项式环中的单位和无法分解多项式的定义以及性质。理解这些概念对于研究代数的不同部分至关重要。