#环的定义与基本性质
Ring定义
一个环是由两个非空集合A和B组成的集合，满足以下性质：
- A和B都是Ring自身的子集。
- 0是元素A和B中的唯一公元（即满足a \in A、b\in B且ab=ba=a=b0）。
- 每个元素a\in A都有对应的元素b\in B，使得a+b\in A、ab\in B。
- 0为每个元素的乘法逆元，即a0=0。
Ring的基本性质
- 对称闭合： Ring是对称闭合的，所以对于任何a,b\in A和c,d\in B，且a+b\in A、ac+bd\in A，我们有(a+c)(b+d)=ab+cd+ad+bc。
- 分配律： 使得a\in A和b,c\in B的乘积是对应的加法结果，所以a(b+c)=ab+ac。
- 恒等式： Ring是满足恒等式的。即对于所有a,b\in A，0=0a=a0，1a=a。
子环的定义
一个子Ring R' 是满足以下条件的另一个 Ring R：R \subseteq R'.
子环的性质
1. 子环是 Ring 的一个子集。
子Ring是Ring本身的一个子集。
2. 除0外的每个元素都有对应的元素，使得元素的乘积等于零。
子Ring中的元素的乘积必须为零。
3. 每个元素的乘法逆元都在子Ring中。
- 每个元素都有一个与之匹配的元素，它们的乘积是零。
子环的判别条件
子环判别条件
如果一个 Ring R' 的所有元素满足以下性质，则R'被称为 Ring R 的子环。这些条件是：1. 除0外，所有其他元素在R'都有与之相乘等值的元素。2. 除零之外，所有其他元素的乘法逆元都存在于R'.
子环判别条件的含义
对于一个 Ring R'，如果R' 是 Ring R 的子环，则有：1. 除0外，所有元素在R'中都有与之相乘等值的元素。2. 除零之外，所有元素的乘法逆元都存在于R'.
子环判别条件的必要性和充分性
- 必要性：如果一个 Ring R' 是 Ring R 的子环，则它一定满足上述性质。
- 充分性：如果一个 Ring R' 满足上述两个性质，并且 除零之外，所有元素在R'都有与之相乘等值的元素，并且除零之外，所有元素的乘法逆元都存在于R'，则R'是Ring R的子环。
子环判别条件的应用
子环判定可以用于Ring的构造和分析中，例如：1. Ring的性质，例如有理数体。2. Ring的分类，如模数Ring。3. Ring操作的简化，如计算 Ring 的对称闭合性质。