Ring-Theory：环的同态与同构之同态基本定理

1. ring-theory简介

Ring theory 是一门研究 Ring（环）和它们的属性的数学理论。Ring 是一个具有加法和乘法运算的集合，且满足以下条件：

• 关系 加法 是 commutative 的。
• 关系 乘法 是 distributive 的。

2. 核、像与商环

Ring theory 中两个重要概念是核 (kernel) 和像 (image)。一个 Ring ringR 上一个Ring homomorphism φ：R → S 的核是指 R 中的所有元素，通过 φ 可以被映射到 0 elements in S 的集合。这可以表示为：

$$ker(\phi )=\{r\in R|\phi (r)=0_S\}$$

同样，一条 Ring homomorphism φ：R → S 的像是指通过 φ 的所有元素可以被映射到的集合。这可以表示为：

$$im(\phi )=\{s\in S|\mathrm{\exists }r\in R,\phi (r)=s_S\}$$

Ring theory 中的商 Ring，也就是 say $R/S$，是指 Ring R 上一个Ring homomorphism φ：R → S 的商。这可以表示为：

$$R/S=\{(r+s)|r\in R,s\in S,\phi (r-s)=0_S\}$$

3. 同态与同构之同态基本定理

Ring theory 中的一个重要结果是 Ring homomorphism 之间的同态和同构之间的关系。这可以表示为：

$$ker({\phi }_1)+ker({\phi }_2)\cong im({\phi }_1\circ {\phi }_2^{-1})=\{(r_s)|r\in R,s\in S,\phi (r_s)=0_S\}$$

这个定理表明了 Ring homomorphism 之间的同态和同构之间的关系，可以帮助我们解决 Ring theory 中的一些复杂问题。

4. 结论

Ring theory 是一个广泛的数学领域，研究 Ring 和它们的属性。Ring homomorphism 之间的同态和同构之间的关系是 Ring theory 中的一个重要结果，有助于我们理解 Ring theory 的更高层次概念。