同态与同构之环同态

同态映射（Equivalent Ring Homomorphism）

一个环 $R$ 的同态映射是指两个Ring的结构相等，但它们的元素数量不一定相同。这种映射将一个Ring视为另一个Ring的一种“变形”。

定义：$f:R\to S$ 是两个Ring $R$ 和 $S$ 的同态映射，且 $S$ 的元素数量与 $R$ 的元素数量完全匹配的结构。

性质：同态映射满足以下性质：

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
• $(fg)(x)=f(f(g(x)))$
• $f(0)=0,f(1)=1$

核与像（Kernel and Image）

一个环 $R$ 的同态映射 $f:R\to S$ 的核是指该映射的“丢失”部分，即它不改变的元素。

定义：$ker(f):=\{x\in R|f(x)=0_S\}$

在这里，$0_S$ 是Ring $S$ 中的零元。同态映射的像是指该映射不改变的元素集。

定义：$im(f)=\{f(x)\mid x\in R\}$

性质：同态映射的性质如下：

• 一个Ring的同态映射的核是另一个环的子集。
• 一个Ring的同态映射的像是一个Ring的子集。
• 核与像满足以下性质：
  • $ker(f)\subseteq im(f)$
  • $im(f)=S/ker(f)$

Ring-Theoretical概念和定义

Ring-theory是代数的一个重要分支，研究的是具有加法运算并且有一个加法闭集的集合R上对称运算的结构。Ring的基本性质包括：

• 具有恒等元素
• 具有加法运算
• 具有乘积运算

这两个运算必须满足以下规则：

$$a+b=b+a$$$$ab=ba$$

Ring中的另一个重要概念是子集和多元化。 Ring的子集是指 Ring 中的元素集。Ring 的多元化是指 Ring 中存在一个单独的零元。

Ring-theory在数学和物理学中的应用非常广泛，包括组合论、代数几何、算术、量子力学等领域。