理想与商环之理想的定义：左理想、右理想、双边理想

一类左理想

左理想是指一个在某些情况下可以实现的理想。它通常由一个乘积结构定义，允许在特定条件下进行运算。

二种类型的左理想

1. 正交分解的左理想

左理想的正交分解是一个关键概念，可以将一个空间分成两个子空间，每个子空间都对应于一个左理想。这种分解可以通过使用正交基来实现。

三种类型的左理想

1. 正交的左理想

一个左理想是正交的，当其乘积结构上所有元素都是正交的，满足 $a\cdot b=0$，其中 $a,b$ 是两个元素，且 $a+b\ne 0$。

2. 正交的两边的左理想

同样，如果一个左理想是正交的，则其乘积结构也满足相同条件。这意味着，在这个左理想中，所有对应于相等性定义的关系也是与自身相等性的关系。

一类右理想

右理想是指在其他情况下可以实现的理想。它通常由一个逆乘积结构定义，可以用来在特定条件下进行运算。

二种类型的右理想

1. 正交分解的右理想

与左理想一样，右理想的正交分解也是一个关键概念，它可以将一个空间分成两个子空间，每个子空间都对应于一个右理想。这种分解可以通过使用正交基来实现。

三种类型的右理想

1. 正交的右理想

一个左理想是正交的，当其逆乘积结构上所有元素都是正交的，满足 $a\cdot b=0$，其中 $a,b$ 是两个元素，且 $a+b\ne 0$。

2. 正交的两边的右理想

同样，如果一个左理想是正交的，则其逆乘积结构也满足相同条件。这意味着，在这个左理想中，所有对应于相等性定义的关系也是与自身相等性的关系。

一类双边理想

双边理想是一个既可以作为左理想，也可以作为右理想的理想。它通常由一个同时满足正交分解和逆乘积结构的定义来实现。

三种类型的双边理想

1. 双边正交的双边理想

一个双边理想是双方都满足正交条件，当其正交结构上所有元素都是正交的，并且其逆乘积结构上同样满足，满足 $a\cdot b=c\cdot d=0$，其中 $a,b$ 是两个元素，$c,d$ 是另外两个元素，且 $a+b\ne 0$。

2. 双方正交的双边理想

同样，如果一个双边理想是双方都满足正交条件，则其乘积结构和逆乘积结构也满足相同条件。它表示所有对应于相等性定义的关系都是与自身相等性的关系。

3. 双方非负的双边理想

对于一个给定的双边理想，如果其每个元素都是非负的，则该理想被称为非负的双边理想。