级的定义与基本性质

以下是关于'环的分类：交换环、含单位元环、整环'

交换环

交换环是一种具有交换律的环。这种环满足以下方程:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

交换环的定义

交换环是指一个环，其中对于所有元素 $a$ 和 $b$，都存在元素 $c$，使得：

$$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$

交换环的性质

交换环具有以下性质：

• 交换律：对于所有元素 $a$ 和 $b$，都存在元素 $c$，使得：$$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$

含单位元环

含单位元环是一种具有单位元的环，其中一个单位元满足以下方程：

$$1\cdot a=a\cdot 1=a$$

含单位元环的定义

含单位元环是指一个环中存在一个单位元，使得对于所有元素 $a$，

$$1\cdot a=a\cdot 1=a$$

含单位元环的性质

含单位元环具有以下性质：

• 单位元：有一个单位元满足$$1\cdot a=a\cdot 1=a$$

整环

整环是一种包含自身乘积的环，其中一个元素被定义为自身。这种环满足以下方程：

$$a=a^2$$

整环的定义

整环是指一个环中，存在一个元素 $a$，使得：

$$a=a^2$$

整环的性质

整环具有以下性质：

• 包含自身乘积：对于所有元素 $a$，都有：$$a=a^2$$

疊列（域）

域是指一个环中存在两个不同的单位元，使得它们相等。

疊列的定义

域是指一个环中，存在两个不同的单位元，满足以下方程：

$$1\ne e,e\ne 1$$

疊列的性质

域具有以下性质：

• 有两个不同单位元：在这种环中，存在两个不同的单位元，使得它们相等。