rings-in-number-theory

rings-theory应用在数论中的应用

整数环的性质

一个整数 ring 是一组整数的加法、乘法和乘积操作满足以下四个条件：

• 1. a + b 是整数，对于任意两个整数 a 和 b。
• 2. ab* 是整数，对于任意两个整数 a 和 b。
• 3. (a + b)c = ac + b*c
• 4. a*(b+c) = ab + ac

一个 ring 可以考虑为一组加法和乘法运算，满足上述四个条件。

rings-theory应用在数论中的应用

rings-theory的基本定义和性质

1. 公 Ring:如果两个 ring 相同，则它们是同一个环。
2. 子集 Ring:如果一个整数 a 在一个 ring 中可以被除以另一个整数 b，则 a 是对应的余数。

rings-theory应用在数论中的应用：

rings-theory的应用

对于任意整数 a 和 n，我们可以定义一个 ring R_n，如下所示：

$$R_n=a+bn|a,b\in \mathbb{Z}$$

其中，a + bn 是整数的一种表示形式。

rings-theory应用在数论中的应用

1. 除法算法

对于任意两个整数 a 和 n，我们可以使用以下除法算法：

• 商（quotient）: a ÷ n = (a + rn) ÷ n

  • $$\text{商}(\text{a},\text{n})=(\text{a}+\text{rn})\mathrm{mod}\text{n}$$

• 余数（remainder）: a ۞ n = a - cn

  • $$(\text{a}۞\text{n})=\text{a}-\text{cn}$$

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2. 互质性（coprimality）检查

对于任意两个整数 a 和 n，我们可以使用以下方法来检查它们是否互质：

• 1. Euclid 的算法：a 和 n 是 coprime 的意思是存在正整数 x 和 y，使得 ax + ny = gcd(a, n)。
  • $$\text{a}\text{ and }\text{n}\text{ are coprime if there exist integers x and y such that}$$
    • $$ax+ny=gcd(\text{a},\text{n})$$
• 2. 算法：如果 ax + ny = gcd(a, n)，则 a 和 n 互质。
  • $$(\text{a}\text{ and }\text{n}\text{ are coprime if}$$
    • $$gcd(\text{a},\text{n})=\text{ax}+\text{ny})$$