노트环과 디드金环의希尔버트基定理

多項式環のノート性質

希ルベルト基定理は、多項式環の基数を決定するために使用される重要な概念です。ノート環とディドキン環は2種類の多項式環の基数です。

노트环

노트环(Noether Ring)は次のように定義されます。 $R=\mathbb{Z}[x_1,x_2,...,x_n]$ が $n$ 次多項式環である場合、ノート環は $$S(R) = \frac{\mathbb{Z}}{(x_1, x_2, ..., x_n)}$$ と定義されます。ここで、$(x_1,x_2,...,x_n)$ は $R$ のイデアルです。

ディドキン環

ディドキン環(Diedorn Ring)は次のように定義されます。 $D(R)=\frac{\mathbb{Z}[1/x_1,1/x_2,...,1/x_n]}{(x_1+x_2+...+x_n)}$ ここで、$(x_1+x_2+...+x_n)$ は $R$ のイデアルです。

###希ルベルト基定理 希ルベルト基定理は次のとおりです。 $$\mathcal{O}(R) = S(R) \text{ かつ } \mathcal{D}(R) = D(R) \Leftrightarrow n = 1.$$ ここで、$\mathcal{O}(R)$はノート環の基数、$\mathcal{D}(R)$はディドキン環の基数です。

结論

ノート环とディドキン環は多項式環の基数であり、それらの基数を決定するために使用される希ルベルト基定理が存在します。この定理により、基数が$n=1$の場合にのみ両方の基数が等しくなることがわかります。