模论之自由模与投射模：定义、性质及在交换环上的表现
什么是自由模和投射模？
一个free 模是指无非零元值的元素集，所有元组合都可表示为多项式的和。一个projective 模是指所有非零元值的元素集，所有元组合都可表示为多项式除以另一个多项式。
定义
自由模（free module）是对一个交换环来说的一种结构，它的元素是无非零元值的表达式，所有表达式都是由基数生成的。投射模（projective module）则是对同样的交换环而言的另一种结构，它的元素是所有非零元值的表达式。
性质
自由模和投射模都具有多种性质，包括：
- 无穷个子集: 自由模和投射模都是无穷个子集。
- 对称运算: 自由模和投射模对称运算是存在的。
- 群结构: 自由模和投射模具有群结构。
在交换环上的表现
自由模和投射模在交换环上表现出许多重要性质，包括：
- 基数生成: 自由模和投射模的元素是根据基数生成的。
- 非零元值: 自由模和投射模的元素都是非零元值。
- 表达式组合: 自由模和投射模中的元素可以进行多项式的加法和乘积。
总结
自由模和投射模是对交换环来说的一种重要结构，它们具有许多重要性质，包括无穷个子集、对称运算群结构。它们在许多领域中都被广泛应用。