交换环的基本性质之素理想与极大理想

定义

交换环是一种具有以下性质的结构：

• 有一个单元元素 1，满足 $a\cdot 1=a$ 的情况在任何单元下。
• 对于任意两个元素 $a,b$，存在逆元 $b^{-1}$，使得 $ab=ba$。

交换环的重要概念是：

• 素理想：一个子集I，使得对于所有$a\in I$，$a\cdot a\in I$，且对所有$a,b\in R$，当$a-b\in I$ 时，$ab\in I$。
• 极大理想：一个子集J，使得对于所有 $a\in J$，存在$b\in R$ 使得 $b-a\in J$。它是最大素理想的集合。

性质

交换环中的一些性质包括：

灵活度

在交换环上，可以通过多项式多元表达式来表示一个元素。

生成函数

对于任何交换环 R，存在一个唯一的生成函数 $F_R(x)$，使得每个元素都可以写成某个形式为 $f(x)\cdot g(x)$ 的多项式，其中 $f(x),g(x)\in F_R[x]$。该生成函数是 R 中的一个元件。

余数定理

对于任何交换环 R，存在一个唯一的整除体 ${\mathrm{\Delta }}_R$，并且可以将其表示为以下形式：

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Delta }}_R& =\text{R}[\delta ]\\ & =⟨a\in \mathrm{R}|x^n\cdot a\equiv 0\mathrm{mod}R[x],n=1,2,...⟩\end{array}$$

其中$\delta$是${\mathrm{\Delta }}_R$的基元。