诺特环与戴德金环之Noether环的定义

1. Noether Ring

Noether Ring是代数学中的一个重要概念，它出现在组合理论和代数代数中。我们首先来定义一下Noether Ring：

Definition

给定一个集合 $R$，如果它具有以下性质，那么我们称其为 Noether Ring：

• $R$ 是一个 commutative ring（意味着满足 commutativity条件，即任何两个元素的乘积都等于相同的元素的乘积 regardless of their order）。
• $R$ 中存在两个元素：$0$ 和 $1$。
• $R$ 的加法和乘法是 commutative 和 associative 的。

2.戴德金环

戴德金环（Dedekind Ring）是另一个重要的概念，它主要出现在Number Theory领域中。我们首先来定义一下戴德金环：

Definition

给定一个集合 $R$，如果它具有以下性质，那么我们称其为戴德金环：

• $R$ 是一个 commutative ring。
• $R$ 中存在两个元素：$0$ 和 $1$。
• $R$ 的加法和乘法是 commutative 和 associative 的。
• $R$ 中的 every element 除 $0$ 外都是有穷的（即无穷大）。
• $R$ 中不存在非零元素的乘积等于 $1$。这意味着 $R$ 中没有整数分解。

3. 理想升链条件

理想升链条件是代数学中的一个基本概念，它在代数代数和代数几何中有重要应用。我们首先来定义一下理想升链条件：

Definition

给定一个 ring $R$，如果存在一个 subset $I$ 使得以下性质成立，那么我们称它为理想升链条件：

• $I$ 是一个 ideal（即满足以下两个性质的集合：闭合和满足乘积规则）。
• 如果存在一个 element $a\in R$ 且 $a\notin I$，则存在一个 element $b\in R$ 且 $ab\in I$。

4. 有限生成理想

有限生成理想是代数学中的另一个基本概念，它在代数代数和代数几何中有重要应用。我们首先来定义一下有限生成理想：

Definition

给定一个 ring $R$，如果存在一个 finite subset $S$ 使得以下性质成立，那么我们称它为有限生成理想：

• $S$ 是一个集合，其中每个元素都是 $R$ 的 element。
• 如果存在一个 element $a\in R$ 且 $a\notin ⟨S⟩$（即 $a$ 不能被 $S$ 中的任何元素乘积获得），则存在一个 element $b\in R$ 且 $ab\notin ⟨S⟩$。