模论之模的同态与同构

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定义

模论中的同态和同构是指两个模空间之间具有特定关系的映射。这种关系通常表明在一个模上某个操作对另一个模有相应的效果。

两个模空间 $R$ 和 $S$ 上的一个映射 $f : R \to S$ 被称为同态（或是全等映射），如果存在一个 $g : S \to R$ 使得 $f \circ g = i d_{S}$ 和 $g \circ f = i d_{R}$ ，其中 $i d_{X}$ 表示 $X$ 上的标量作用。

两个模空间 $R$ 和 $S$ 之间存在一个同构（或是全等变换）如果存在一个相应的变换 $f : R \to S$ 使得 $f (R) = S$ 和 $f^{- 1} (S) = R$ 。

模空间之间的映射是 commute 的，意味着对于任何映射 $f : R \to S$ 和 $g : S \to T$ ，我们有 $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x)$ ，其中 $R, S, T$ 是模空间。

对于任何模空间和变换，我们有 $(f \circ (g \circ h)) (x) = ((f \circ g) \circ h) (x)$ 和 $(f \circ (h \circ g)) (x) = (f \circ (h \circ g)) (x)$ 。

对于任何 $R$ ，存在一个标量作用 $i d_{R} : R \to R$ 使得 $i d_{R} (x) = x$ 和 $(i d_{R} \circ f) (x) = f (x)$ 。

给定两个模空间 $R$ 和 $S$ ，如果存在一个全等变换 $f : R \to S$ ，则存在一个全等变换 $g : S \to R$ ，使得 $f (g (x)) = x$ 和 $g (f (y)) = y$ 。

对于任何模空间和变换，我们有 $(i d_{R} \circ f) = f$ 和 $(i d_{S} \circ g) = g$ 。