模论之模的张量积：定义、性质及在模论中的应用（commutative-algebra）

什么是模的张量积？

模的张量积是在代数结构中一个重要概念。给定两个具有同一类型元素的模R和S，张量积R × S是一种新建的模，其元素是R与S的对齐乘积。

对于两个模R和S，如果它们共享相同类型的元素，则其张量积可以写成：

R \times S = {(r, s) | r \in R, s \in S}

模的张量积有以下性质：

对齐: $(r_{1}, s_{1}) + (r_{2}, s_{2}) = (r_{1} + r_{2}, s_{1} + s_{2})$
可加法分配律：$$(r_1, s_1)+(r_2, s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2)=((r_1+r_2),(s_1+s_2))=(r_1+(r_2),s_1+(s_2))=(r_1,s_1)+(r_2,s_2)$$
可乘法分配律：$$(r_1, s_1)\cdot(r_2, s_2)=(r_1\cdot r_2,s_1\cdot s_2)=(r_1)(r_2,s_1s_2)=(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)$$
单位元：对于模R有一个单位元 $e$ ，使得 $(r, e) = (e, r) = r$ 。
对称性：如果R和S是 commutative-algebra 中的 commutative ring then $(r, s) = (s, r)$ 。

模的张量积在许多领域中都有应用，例如：