Krull维数和Hilbert多项式

维数理论的背景

在代数几何中，Krull维数（Kruskal维数）是指一个非零无关正理想的维数。它由Krull定义过，并且在多项式 ring 上广泛应用。

Hilbert多项式

Hilbert多项式是Krull维数的一个重要概念，它描述了一个非零无关正理想的维数。给定一个多项式 ring R，Hilbert多项式为：

$${\mathrm{\Delta }}_R(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{\mathrm{Tr}}_{R/{\mathfrak{p}}_i}(t),$$

其中 ${\mathfrak{p}}_i$ 是从 $R$ 到分解体的零次多项式的集合，且 $\mathrm{Tr}$ 表示特征 trace。

Krull维数

Krull维数是Hilbert多项式的一个值，它描述了一个非零无关正理想的维数。给定一个多项式 ring R 和一个非零无关正理想 $I$，我们可以定义：

$$\mathrm{K}(I)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_R(1+t_1^n+\cdots +t_n^n)}{{\mathrm{\Delta }}_R(1)},$$

其中 $t_i$ 是一个从 $R$ 到分解体的零次多项式。

例子

对于一个多项式 ring R = $\mathbb{Z}[x,y]$，我们可以计算 Krull维数：

\begin{align*} \Delta_{\mathbb{Z}[x,y]}(t) &= \mathrm{Tr}{\mathbb{Z}[x]/\langle x \rangle}(t) + \mathrm{Tr}{\mathbb{Z}/\langle y \rangle}(t) \ &= 1 + t \end

因此，${\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{Z}[x,y]}(1)=2$。

结论

Krull维数和Hilbert多项式是代数几何中一个重要的概念，它描述了一个非零无关正理想的维数。它们在研究多项式 ring 和分解体上的性质方面具有重要意义。