代数簇的局部性质：局部环、正则点与奇异点

局部环

代数簇中的一个重要概念是局部环。局部环是一个在每个局部化点上定义的 ring，局部化指的是将多项式 ring 分解为多个子 ring，每个子 ring 对应于一组多项式，它们与特定的变量有关。

局部环可以通过将多项式 ring 分解为多个子 ring 来得到。每个子 ring 对应于一个子集的变量，称为局部化点的基准。每个子 ring 由与这些基准相关的多项式组成。

$R_{V} (S)$ ，其中 $R$ 是原始 ring， $V$ 是多项式 ring 的分解， $S$ 是一个子集， $R_{S}$ 是子 ring。则局部环可以通过：

R_{V} (S) = ⨁_{i \in S} R_{V i}

其中 $R_{V i}$ 是 $V$ 的第 i 个子 ring。

代数簇中的正规点是指那些当我们在这些点上进行局部化时，结果的多项式 ring 可以被分解为两个较小的多项式 ring 时的点。这些点表示了代数簇中可能存在一些相互作用的变量。

一个正规点的定義可以通过以下公式得到：

$V$ 是一组正规点的集合，其中每个正规点 $p$ 的多项式 ring 可以被分解为两个较小的多项式 ring。则 $R_{V} (S)$ 可以写成：

R_{V} (S) = ⨁_{i \in S} R_{V i}

其中 $R_{V i}$ 是 $V$ 的第 i 个正规点。

代数簇中的奇异点是指那些当我们在这些点上进行局部化时，结果的多项式 ring 无法被分解为两个较小的多项式 ring 时的点。这些点表示了代数簇中可能存在一些无关变量。

一个奇异点的定義可以通过以下公式得到：

$V$ 是一组奇异点的集合，其中每个奇异点 $p$ 的多项式 ring 无法被分解为两个较小的多项式 ring。则 $R_{V} (S)$ 可以写成：

R_{V} (S) = ⨁_{i \in S} R_{V i}

其中 $R_{V i}$ 是 $V$ 的第 i 个奇异点。

代数簇的局部性质对于理解代数簇的结构和行为至关重要。局部环、正规点与奇异点是理解多项式 ring 和代数簇的基本概念。通过了解这些概念，我们可以更好地分析代数簇的性质，并找到新的解决方案来处理复杂的问题。