戴德金环的定义

戴德金环是代数中一个重要的概念，出现在代数结构理论和 commutative-algebra 等领域。

整环

整环（Integral Ring）是指一个 ring 的所有元素都是整数，它可以表示为以下公式：

$$\mathbb{Z}\subseteq R=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n+b_n\mathbb{N},$$

其中 $a_n,b_n\in R$，且对于每个非零 $b_n$ 都有一个 $a_n$ 使得 $a{b}_n\ne 0$。

分式理想

分式理想（Ideal of Fraction Ring）是指在一个 ring 中考虑了所有可能的分数。它可以表示为以下公式：

$$\mathfrak{m}=a+b\mathbb{N},$$

其中 $a,b\in R$，且对于每个非零 $b$ 都有一个 $a$ 使得 $ab\ne 0$。

唯一分解

唯独分解（Unique Factorization）是指在某个 ring 中，对于所有非零元素，可以唯一地将其表示为乘积的单个元。它可以表示为以下公式：

$$a=b_1^{n_1}{b}_2^{n_2}\cdots b_k^{n_k},$$

其中 $b_i\in R$，且对于每个非零 $b_i$ 都有一个 $n_i$ 使得 $b_i^{n_i}$ 是最小的。