交换环的基本性质之环同态与同构

定义

交换环是具有以下性质的 ring：对于任意 a、b 和 cbelongsto R，它们满足：

a\cdot b=b\cdot a和ab=ba

这意味着环中的乘法是一致性的。

两个ringR_{1}和R_{2}是同态的当存在一个ringhomomorphismf：R_{1}\to R_{2}，使得所有的元素a_{i} belongsto Ri都满足：

f(a_{i})=a_

两个ringR_{1}和R_{2}是同构的当存在一个 bijective ringshomomorphismf：R_{1}\to R_{2}。

如果ringsR_{1},R_{2},andR_{3}都具有一个ringshomomorphismsimplying f：R_{1}\to R_{2}和g：R_{2}\to R_{3}，则有：

（gf）(x)=g(f(x)) for all xinR_

如果f：R_{1}\to R_{2}是一个ringshomomorphism，并且存在一个ringh：R_{2}\to R_{1}，使得hf=1_{R_{1}}和fh=1_{R_{2}},则f是bijective的。

如果两个ringsR_{1}andR_{2}具有一个ringshomomorphismf：R_{1}\to R_{2}使得f是bijective，则它们具有同构。

在交换环中，两个ring上的元素之间的关系可以通过 ring 同态和同构来表示。这些概念对于研究 ring 上的结构和运算非常有用。例如，在 commutative ring 中，所有的元素都是 commutative 的，这意味着他们之间的乘法是 commutative 的。

交换环的基本性质，包括环同态与同构，是 ring理论中重要的一部分。这些概念对于理解ring上的结构和运算具有重要意义。