交换环的定义

加法群和乘法交换律

一个加法群$(G,+)$是一个集合$G$的加法运算，具有以下性质：

• $a,b\in G$时，$a+b\in G$
• 对于所有$a,b,c\in G$，$a+(b+c)=(a+b)+c$

一个乘法环$(R,\cdot )$是一个集合$R$的乘法运算，具有以下性质：

• $a,b\in R$时，$ab\in R$
• 对于所有$a,b,c\in R$，$a(bc)=(ab)c$

分配律

一个加法环$(G,+)$的一个乘法运算$\cdot$满足以下性质：对于所有$a,b,c\in G$，$a(b+c)=ab+ac$。

一个乘法环$(R,\cdot )$的一个加法运算$+$满足以下性质：对于所有$a,b,c\in R$，$a(b+c)=ab+ac$。