仿射簇与坐标环

定义

仿射簇是交换代数中一个重要的概念，它描述了一个向量空间中的线性方程组的集合。对于一个向量空间V，令F denote为一个非零向量，设P(V) = {Ax | x ∈ V} 表示的是对称群。然后，仿射簇是 P(V)/F。由于 为了使得一个群与另一个群相似，我们需要定义一个映射，使得它满足以下条件：

对于所有x,y ∈V，我们有：

ax+by=0，意味着 (aF+bF)(y)=0

这正是对称群的定义。

性质

一个向量空间的 仿射簇具有以下性质：

• 该群是对称性的。
• 每个元素都可以表示为其自身与单位元素之和。
• 对于每个x,y ∈V，其对应的映射满足交换律，即 (aF+bF)(y)=0意味着 aF(y)+bF(y)=0。

对应关系

一个向量空间V具有以下特性：

• 该群的元素是通过对称群中的运算来获得的。
• 每个元素都与单位元有关联。

我们可以通过将一个元素映射到另一个元素来建立这两个群之间的对应关系。例如，如果在群P(V)中，x ∈ V，且a ∈R，则有：

$$ax\in P(V)/F$$$$\Rightarrow ax+aF=0+aF$$

对于这个群的对称性，我们可以将该群映射到另一个群，令 $aF+bF$ 为另一个元素。我们得到：

$$aF+bF=0+(b-a)F$$

这两个群是同构的。

实例

有时，我们需要考虑群P(V)/F，并且它的元素的对应关系是通过将一个元素映射到另一个元素来实现的。这在计算几何学中非常重要，例如在研究几何体的性质时。