多项式与因式分解之多项式的因式分解：基本概念与方法

简介

在代数中，多项式和其因式分解是非常重要的一部分。多项式是由变量或常数组成的表达式，其主要运算是加法、减法、乘法和除法。因式分解是一种将多项式表示为具有明显整数系数的其他多项式的乘积的过程。

在进行因式分解之前，我们需要了解以下基本概念：

反射法主要用于求多项式的根。它涉及对原始多项式进行以下操作：

将所有系数都分配到一个位置，其他系数消失： $a x^{2} + b x + c \mapsto (x^{2} + \frac{b}{a} x) + \frac{c}{a}$ 。
使用一对称性变换将多项式转换为具有相同根的形式。例如，对于一个二次方程，可以使用以下公式： $$\begin{aligned} x &= -\frac{b}{2a} \ y &= \sqrt{\frac{c-\frac{b^2}{4a}}{a}} \end{aligned}$$
分解因式分解。对于根的求值，可以使用以下公式： $$\begin{aligned} x_1 &= -\frac{b}{2a} + y \ x_2 &= -\frac{b}{2a} - y \end{aligned}$$

现在我们已经对多项式进行了反射，可以使用以下公式找到其根：

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c = a (x + x_{1}) (x + x_{2}) \\ x_{1} & a m p; = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x_{2} & a m p; = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}

另一项是用逆元来实现多项式的因式分解。这个过程涉及以下步骤：

一个示例是：

\begin{array}{r} x^{2} + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2) \end{array}

其中我们可以将原有多项式除以 $(x + 3)$ ，得到 $$(x+3)\left(x^2+5x+6\right)=(x+3)^2(x+2)=0.$$ 这给出了多项式的因式分解。